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Une Leçon de Mathématiques

Une Leçon de Mathématiques

Classe

Terminale SG ou SV

Thème
Probabilités et variable aléatoire sur la théorie des jeux

Durée
2 périodes

Prérequis

Dénombrement (distinguer entre combinaisons, arrangements et p-listes)
La moyenne en statistique

Méthode

Introduire très rapidement une notion du cours avec une situation motivante, puis l’exploiter sur un exemple (la situation) en procédant par questions successives (un peu la méthode du Q SORT); pour une classe d’une vingtaine d’élèves, il faut s’attendre à une réponse correcte par question de la part d’un élève au moins, sinon on doit reposer la question sous une autre forme!...

Déroulement de la leçon

I- SITUATION

Comment « mathématiser » le jeu du LOTO? C’est-à-dire trouver les probabilités des différentes possibilités de gains algébriques d’un joueur qui a coché 6 numéros d’une grille?
Peut-on traduire l’«espérance» du joueur en un résultat numérique?
On pourrait alors savoir si le jeu est en faveur du joueur, de la Société des jeux ou bien s’il est EQUITABLE!

II- NOTION DU COURS
Loi de probabilité uniforme: en considérant un événement A faisant partie d’un ensemble Ω appelé univers des possibles, on appelle probabilité de A le nombre

p(A) = card(A) = nombre de cas favorables
card(Ω) nombre de cas possibles

Remarque: Bien sûr le résultat est inférieur à 1.
(Il serait important d’expliquer ce que veut dire card(A) ou card(Ω) en distinguant par exemple entre les mots "nombre cardinal" et "nombre ordinal")

III- EXEMPLE
1) Saïd a coché 6 cases d’une grille de 42 cases numérotées de 1 à 42.
Question: Quel est le nombre de cas possibles?
Réponse: Toute possibilité est une combinaison 6 à 6 des 42 numéros; il y a donc
C⁶₄₂ = 5 245 786 possibilités.

Remarques:
- Tout choix est formé de 6 numéros distincts parmi 42, sans tenir compte de l’ordre.
- Avec la calculatrice (la nouvelle Casio fx-95), le calcul se fait avec la touche nCr :

nCr

On voit affiché le résultat : 5 245 786.
Question: Quel est donc le cardinal de l’univers Ω?
Réponse: card(Ω) = 5 245 786.

2) supposons que lors du tirage, les six numéros gagnants sont :

Question: De combien de manières peut-on choisir 3 numéros distincts parmi ces six numéros ?
Réponse: On combine 3 à 3 les 6 numéros; il y a
C³₆= 20 manières
Question: De combien de manières peut-on choisir 3 numéros distincts parmi les 36 autres numéros non gagnants?
Réponse: On combine 3 à 3 les 36 numéros; il y a
C³₃₆ = 7 140 manières.
Question: Déduire le cardinal de l’événement suivant:
A: "parmi les 6 numéros de Saïd, 3 seulement sont gagnants" et calculer par suite p(A) .
Réponse:
card (A) = C³₆ . C³₃₆ = 20 x 7 140 = 142 800.
Remarque: on multiplie 20 par 7140 car, à chaque choix des 3 numéros gagnants parmi les 20, correspondent 7140 choix différents des 3 numéros non gagnants.
Par suite, la probabilité de l’événement A est:

3) Question:
Selon le même raisonnement, calculer les probabilités des événements:

B: "parmi les 6 numéros de Saïd, 4 seulement sont gagnants"
C: "parmi les 6 numéros de Saïd, 5 seulement sont gagnants"
D: "les 6 numéros de Saïd sont gagnants"
E: "parmi les 6 numéros de Saïd, 2 seulement sont gagnants"
F: "parmi les 6 numéros de Saïd, 1 seul est gagnant"
G: "parmi les 6 numéros de Saïd, aucun n’est gagnant".

Réponse:

card (B) = C⁴₆ . C²₃₆ = 15 x 630 = 9 450.
card (C) = C⁵₆ . C¹₃₆ = 6 x 36 = 216.
card (D) = C⁶₆ = 1.
card (E) = C²₆ . C⁴₃₆ = 15 x 58 905 = 883 575.
card (F) = C¹₆ . C⁵₃₆ = 6 x 376 992 = 2 261 952.
card (G) = C⁶₃₆ = 1 947 792.
D’où les probabilités:

Remarques:
- En additionnant

card(A) + card(B) + card(C) + card (D) + card(E) + card (F) + card(G)
on trouve 5 245 786 = card(Ω) ,

ce qui est une preuve à l’appui de la rigueur du raisonnement mathématique (ces événements formant l’univers des possibles).
- On remarque que card(F) > card(G); ce qui veut dire que Saïd est plus chanceux s’il n’a aucun numéro gagnant que s’il en a un! (incompréhensible pour un profane).

4) On veut attribuer à chaque événement une valeur numérique notée X et qu’on appelle variable aléatoire. Soit X = le gain algébrique de
Saïd.
Question:
Quelle est la valeur de X si Saïd a seulement 3 numéros gagnants?
Réponse:
Le prix d’une grille étant de 1500LL, alors X = 6000 – 1500 = 4500.

(Sachant que 3 numéros gagnants rapportent 6,000 LL).
Remarques: X = 4500 correspond à l’événement A. On écrit alors:

Question:
Quelle est la valeur de X qui correspond aux événements E,F,G réunis?
(càd 2 numéros gagnants, un numéro ou aucun)?
Reponse: X = – 1500 .
Question:
Déduire p (X= – 1500).
Réponse:

5) On estime que:
X = 50 000 s’il y a 4 numéros gagnants (l’événement B)
X= 10 000 000 s’il ya 5 numéros gagnants (l’événement C)
X= 1 000 000 000 si les 6 numéros sont gagnants (l’événement D).
D’où le tableau:

C’est un tableau analogue au tableau des fréquences d’une série statistique.
La moyenne de la série s’appelle alors l’espérance mathématique de X qu’on note:

Le calcul se fait avec une calculatrice utilisant le mode statistique.
Avec la nouvelle Casio fx-95, les séquences sont les suivantes:

MODE 2 (pour choisir le mode statistique SD)
SHIFT MODE 1 = ( pour nettoyer la mémoire STAT CLEAR)
– 1500 SHIFT , 5093319 M+
4500 SHIFT , 142800 M+
…..
1 000 000 000 SHIFT , 1 AC ( on presse la touche
AC pour terminer).

Et pour tirer l’espérance E(X) qui est la moyenne:

SHIFT

6) Question:
La calculatrice affiche ~ – 641 comme moyenne (càd E(X) = – 641).
Comment interpréter ce résultat? Le jeu est-il équitable?
Réponse:
– 641 < 0, donc le jeu n’est pas en faveur du joueur: il perd en moyenne 641 LL par grille; le jeu n’est pas équitable.
Travail de préparation:
Une séance ultérieure consistera à déterminer éventuellement les valeurs de X afin d’avoir E(X) = 0. Problème ouvert.

Une Leçon de Mathématiques

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Durée
2 périodes

Prérequis

Dénombrement (distinguer entre combinaisons, arrangements et p-listes)
La moyenne en statistique

Méthode

Déroulement de la leçon

I- SITUATION

Comment « mathématiser » le jeu du LOTO? C’est-à-dire trouver les probabilités des différentes possibilités de gains algébriques d’un joueur qui a coché 6 numéros d’une grille?
Peut-on traduire l’«espérance» du joueur en un résultat numérique?
On pourrait alors savoir si le jeu est en faveur du joueur, de la Société des jeux ou bien s’il est EQUITABLE!

II- NOTION DU COURS
Loi de probabilité uniforme: en considérant un événement A faisant partie d’un ensemble Ω appelé univers des possibles, on appelle probabilité de A le nombre

p(A) = card(A) = nombre de cas favorables
card(Ω) nombre de cas possibles

Remarques:
- Tout choix est formé de 6 numéros distincts parmi 42, sans tenir compte de l’ordre.
- Avec la calculatrice (la nouvelle Casio fx-95), le calcul se fait avec la touche nCr :

nCr

On voit affiché le résultat : 5 245 786.
Question: Quel est donc le cardinal de l’univers Ω?
Réponse: card(Ω) = 5 245 786.

2) supposons que lors du tirage, les six numéros gagnants sont :

3) Question:
Selon le même raisonnement, calculer les probabilités des événements:

Réponse:

Remarques:
- En additionnant

card(A) + card(B) + card(C) + card (D) + card(E) + card (F) + card(G)
on trouve 5 245 786 = card(Ω) ,

(Sachant que 3 numéros gagnants rapportent 6,000 LL).
Remarques: X = 4500 correspond à l’événement A. On écrit alors:

C’est un tableau analogue au tableau des fréquences d’une série statistique.
La moyenne de la série s’appelle alors l’espérance mathématique de X qu’on note:

Le calcul se fait avec une calculatrice utilisant le mode statistique.
Avec la nouvelle Casio fx-95, les séquences sont les suivantes:

Et pour tirer l’espérance E(X) qui est la moyenne:

SHIFT

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Thème
Probabilités et variable aléatoire sur la théorie des jeux

Durée
2 périodes

Prérequis

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La moyenne en statistique

Méthode

Déroulement de la leçon

I- SITUATION

Comment « mathématiser » le jeu du LOTO? C’est-à-dire trouver les probabilités des différentes possibilités de gains algébriques d’un joueur qui a coché 6 numéros d’une grille?
Peut-on traduire l’«espérance» du joueur en un résultat numérique?
On pourrait alors savoir si le jeu est en faveur du joueur, de la Société des jeux ou bien s’il est EQUITABLE!

II- NOTION DU COURS
Loi de probabilité uniforme: en considérant un événement A faisant partie d’un ensemble Ω appelé univers des possibles, on appelle probabilité de A le nombre

p(A) = card(A) = nombre de cas favorables
card(Ω) nombre de cas possibles

Remarques:
- Tout choix est formé de 6 numéros distincts parmi 42, sans tenir compte de l’ordre.
- Avec la calculatrice (la nouvelle Casio fx-95), le calcul se fait avec la touche nCr :

nCr

On voit affiché le résultat : 5 245 786.
Question: Quel est donc le cardinal de l’univers Ω?
Réponse: card(Ω) = 5 245 786.

2) supposons que lors du tirage, les six numéros gagnants sont :

3) Question:
Selon le même raisonnement, calculer les probabilités des événements:

Réponse:

Remarques:
- En additionnant

card(A) + card(B) + card(C) + card (D) + card(E) + card (F) + card(G)
on trouve 5 245 786 = card(Ω) ,

(Sachant que 3 numéros gagnants rapportent 6,000 LL).
Remarques: X = 4500 correspond à l’événement A. On écrit alors:

C’est un tableau analogue au tableau des fréquences d’une série statistique.
La moyenne de la série s’appelle alors l’espérance mathématique de X qu’on note:

Le calcul se fait avec une calculatrice utilisant le mode statistique.
Avec la nouvelle Casio fx-95, les séquences sont les suivantes:

Et pour tirer l’espérance E(X) qui est la moyenne:

SHIFT