MATH

 

 

FİCHE PRATIQUE

MATHS:  SEANCE D’APPRENTISSAGE

 

 Niveau : TERMINALE SE OU SV

Durée : 120 minutes

Titre de la leçon : Logarithmes-Fonctions  logarithmiques

Objectifs : A la fin de la séance, l’élève sera capable de faire des calculs logarithmiques, tracer des courbes de fonctions logarithmiques, résoudre des situations problèmes de la vie courante et dynamiser des graphiques pour prévoir et interpréter une solution :

1. Introduire la notion du logarithme népérien  ou Ln
2. Définir une fonction logarithmique
3. Calculer une dérivée logarithmique et déduire alors des primitives  sous la  forme de  Ln|u(x)|
4. Etudier les variations d’une fonction en  Ln
5. Donner la relation entre Ln et le logarithme dans d’autre bases de calcul
6. Savoir calculer dans une équation où l’inconnue est en exposant
7. Valoriser le rôle des logarithmes, et donc des mathématiques, pour d’autres  disciplines permettant de résoudre des situations réelles en Economie, en  Chimie et en Biologie.

Pré- requis:

 Pour bien aborder la séance et surmonter les difficultés, l’apprenant doit posséder savoir et savoir-faire :

1. Les règles de dérivations d’une fonction
2. L’étude de la variation d’une fonction
3. L’étude des fonctions usuelles
4. La règle de l’Hospital
5. Les primitives simples et généralisées

Outils et supports (matériel):

Calculatrice, Lap top, LCD projector, Programme Power point, l’ indispensable tableau et le logiciel geogebra

Déroulement :

Après avoir préparé le chapitre sur un ordinateur, on lance l’explication par projection des diapositives

Si l’ enseignant ne connaît pas l’animation avec Power point, il peut demander l’aide du prof d’informatique de l école.

 

Activité 1 :

On demande aux élèves de calculer les primitives de chacune des fonctions associant à une inconnue x l’une des expressions suivantes:

On gère ainsi un débat sans donner la réponse qui va être énoncée ultérieurement et toujours pour garder l’élève en état de suspense afin d’essayer par lui-même d’inventer une solution.

Activité 2 :

On demande aux élèves de calculer, au moyen de la calculatrice, et de comparer certaines valeurs.

1. Calculer  ln2 ; ln3 ; ln 2/3 ;ln6 ; ln2 +ln3 ;ln2 –ln3 , puis comparer les résultats.
2. Calculer  ln(0,1) ;ln(0,3) ;ln(0,5) ;ln(0,9) ;ln1 ; ln2 ; ln(2,5) ;ln3 ;ln7 . Que peut-on  en déduire ?
3. Calculer ln(-0,0001) ;ln(-0,5) ;ln(-4) ;ln(-9).Que peut-on en déduire ?
4. Calculer ln(0,6) ; ln(0,8) ; ln4 ;ln5.Que remarquez-vous ?
5. Calculer ln(2)^-3 et -3ln(2) ;  ln(5)^-0,2 et -0,2ln5, puis ln(2,3)⁴ et 4ln(2,3).Que constatez-vous ?

Synthèse

- De l’activité 1 apparaît la nécessité de créer une primitive de1/x

- De l’activité 2 découle la possibilité d’avoir :

1.  ln(ab) = lna+lnb   et lna/b  = lna – lnb
2. Ln x < 0 lorsque 0 < x <1 ; ln 1 = 0 et   lnx > 0 si x > 1
3. Une impossibilité de trouver lnx,  Si x < 0
4. Ln x^α = α  lnx   où  α  est un réel quelconque
5. Une croissance de Lnx  lorsque x croît,  mais moins vite.

 

Cours :

On lance maintenant les diapositives du cours et on demande aux élèves de rédiger leurs propres réponses avant de généraliser les résultats.

 

A)Définition                                                                                                         
Une primitive de la fonction f définie par f(x) = 1/x  pour x > 0 est :                    

  (découverte par  Alkhawarizmi)

 

 

C’est aussi l’aire F(t)du domaine limité

par la courbe de la fonction usuelle définie par

f(x)= 1/x  , l’axe des abscisses et les droites

                 d’équations respectives

x =1 et x = t ( t > 1)

 

 

 

 

 

Déduction : La dérivée de lnx est  1/x  ou (lnx)^’ =1/x

                      La représention est tracée au moyen du logiciel geogebra que vous pouvez

                      installer sur votre ordinateur, sur le site : http://www.geogebra .org/cms/fr

B)Formules :

Pour tous réels positifs a et b et pour tout réel α on a :

• Ln ab = ln a+ ln b
• Ln(a/b) = ln a –ln b
• Ln a^α = α ln a
• Ln 1 = 0
• Lne = 1,  e =2,7818….( base de ln)
• Pour 0 < x < 1 , ln x < 0 et pour x > 1,  lnx > 0

 

Puisque la majorité des élèves ne fait pas attention aux démonstrations, on en montre quelques- unes et on démontre ensuite les autres aux intéressés.

C) Les limites :

         

              

  Puisque la majorité des élèves ne fait pas attention aux démonstrations, on en  montre quelques- unes et on démontre les autres aux intéressés ultérieurement.

Remarques : La règle de l’Hospital permet, pour la plupart des élèves, de  faciliter la recherche de la limite.

Au moyen du logiciel geogebra, on trace les courbe de x² ; x³ ; ….et   lnx pour  déduire le comportement à l’infini de lnx par rapport  à   la puissance de x

D)Etude de la fonction ln

1. Le domaine de ln est ]0 ;+∞[
2. Limites :        et    
3.  Dérivée : (lnx)^’ =  > 0

e. Intersections avec les axes : x=0 n’appartient pas au domaine

                                                   y = 0, x = 1

       Comportement à : on prend x=9, on détermine y pour déduire qu’il ya une direction asymptotique parallèle à x’x

f.  Courbe :

 

On cherche les équations des

tangentes à la courbe (C) menées

des points de coordonnées(1 ; 0) et (e ;1)

 

E) Logarithme à base b :    

Par définition :  log_b x= Inx/Inb et on étudie brièvement  ses propriétés, ses variations, ses courbes  sans oublier le logarithme décimal.

F) Dérivées et primitives logarithmiques généralisées :

 On traite avec les élèves des fonctions bien déterminées, leurs dérivées , leurs primitives et on trace leurs courbes au moyen du calcul et au moyen du geogebra.

G) Application :

1. On énonce les règles de calcul de la résolution d’une équation en ln.
2. On enseigne à l’aide de  jeux d’intelligence, d’attention ou à travers un concours entre les élèves.
3. On teste les connaissances avec des QCM signifiants.
4. On décode des figures par des lectures graphiques.
5. On trace et on dynamise des figures avec geogebra.
6. On procède en recourant à des situations vécues et des exemples bien  choisis dont voici quelques- uns :

Exemple 1

MATH

 

 

FİCHE PRATIQUE

MATHS:  SEANCE D’APPRENTISSAGE

 

 Niveau : TERMINALE SE OU SV

Durée : 120 minutes

Titre de la leçon : Logarithmes-Fonctions  logarithmiques

Objectifs : A la fin de la séance, l’élève sera capable de faire des calculs logarithmiques, tracer des courbes de fonctions logarithmiques, résoudre des situations problèmes de la vie courante et dynamiser des graphiques pour prévoir et interpréter une solution :

1. Introduire la notion du logarithme népérien  ou Ln
2. Définir une fonction logarithmique
3. Calculer une dérivée logarithmique et déduire alors des primitives  sous la  forme de  Ln|u(x)|
4. Etudier les variations d’une fonction en  Ln
5. Donner la relation entre Ln et le logarithme dans d’autre bases de calcul
6. Savoir calculer dans une équation où l’inconnue est en exposant
7. Valoriser le rôle des logarithmes, et donc des mathématiques, pour d’autres  disciplines permettant de résoudre des situations réelles en Economie, en  Chimie et en Biologie.

Pré- requis:

 Pour bien aborder la séance et surmonter les difficultés, l’apprenant doit posséder savoir et savoir-faire :

1. Les règles de dérivations d’une fonction
2. L’étude de la variation d’une fonction
3. L’étude des fonctions usuelles
4. La règle de l’Hospital
5. Les primitives simples et généralisées

Outils et supports (matériel):

Calculatrice, Lap top, LCD projector, Programme Power point, l’ indispensable tableau et le logiciel geogebra

Déroulement :

Après avoir préparé le chapitre sur un ordinateur, on lance l’explication par projection des diapositives

Si l’ enseignant ne connaît pas l’animation avec Power point, il peut demander l’aide du prof d’informatique de l école.

 

Activité 1 :

On demande aux élèves de calculer les primitives de chacune des fonctions associant à une inconnue x l’une des expressions suivantes:

On gère ainsi un débat sans donner la réponse qui va être énoncée ultérieurement et toujours pour garder l’élève en état de suspense afin d’essayer par lui-même d’inventer une solution.

Activité 2 :

On demande aux élèves de calculer, au moyen de la calculatrice, et de comparer certaines valeurs.

1. Calculer  ln2 ; ln3 ; ln 2/3 ;ln6 ; ln2 +ln3 ;ln2 –ln3 , puis comparer les résultats.
2. Calculer  ln(0,1) ;ln(0,3) ;ln(0,5) ;ln(0,9) ;ln1 ; ln2 ; ln(2,5) ;ln3 ;ln7 . Que peut-on  en déduire ?
3. Calculer ln(-0,0001) ;ln(-0,5) ;ln(-4) ;ln(-9).Que peut-on en déduire ?
4. Calculer ln(0,6) ; ln(0,8) ; ln4 ;ln5.Que remarquez-vous ?
5. Calculer ln(2)^-3 et -3ln(2) ;  ln(5)^-0,2 et -0,2ln5, puis ln(2,3)⁴ et 4ln(2,3).Que constatez-vous ?

Synthèse

- De l’activité 1 apparaît la nécessité de créer une primitive de1/x

- De l’activité 2 découle la possibilité d’avoir :

1.  ln(ab) = lna+lnb   et lna/b  = lna – lnb
2. Ln x < 0 lorsque 0 < x <1 ; ln 1 = 0 et   lnx > 0 si x > 1
3. Une impossibilité de trouver lnx,  Si x < 0
4. Ln x^α = α  lnx   où  α  est un réel quelconque
5. Une croissance de Lnx  lorsque x croît,  mais moins vite.

 

Cours :

On lance maintenant les diapositives du cours et on demande aux élèves de rédiger leurs propres réponses avant de généraliser les résultats.

 

A)Définition                                                                                                         
Une primitive de la fonction f définie par f(x) = 1/x  pour x > 0 est :                    

  (découverte par  Alkhawarizmi)

 

 

C’est aussi l’aire F(t)du domaine limité

par la courbe de la fonction usuelle définie par

f(x)= 1/x  , l’axe des abscisses et les droites

                 d’équations respectives

x =1 et x = t ( t > 1)

 

 

 

 

 

Déduction : La dérivée de lnx est  1/x  ou (lnx)^’ =1/x

                      La représention est tracée au moyen du logiciel geogebra que vous pouvez

                      installer sur votre ordinateur, sur le site : http://www.geogebra .org/cms/fr

B)Formules :

Pour tous réels positifs a et b et pour tout réel α on a :

• Ln ab = ln a+ ln b
• Ln(a/b) = ln a –ln b
• Ln a^α = α ln a
• Ln 1 = 0
• Lne = 1,  e =2,7818….( base de ln)
• Pour 0 < x < 1 , ln x < 0 et pour x > 1,  lnx > 0

 

Puisque la majorité des élèves ne fait pas attention aux démonstrations, on en montre quelques- unes et on démontre ensuite les autres aux intéressés.

C) Les limites :

         

              

  Puisque la majorité des élèves ne fait pas attention aux démonstrations, on en  montre quelques- unes et on démontre les autres aux intéressés ultérieurement.

Remarques : La règle de l’Hospital permet, pour la plupart des élèves, de  faciliter la recherche de la limite.

Au moyen du logiciel geogebra, on trace les courbe de x² ; x³ ; ….et   lnx pour  déduire le comportement à l’infini de lnx par rapport  à   la puissance de x

D)Etude de la fonction ln

1. Le domaine de ln est ]0 ;+∞[
2. Limites :        et    
3.  Dérivée : (lnx)^’ =  > 0

e. Intersections avec les axes : x=0 n’appartient pas au domaine

                                                   y = 0, x = 1

       Comportement à : on prend x=9, on détermine y pour déduire qu’il ya une direction asymptotique parallèle à x’x

f.  Courbe :

 

On cherche les équations des

tangentes à la courbe (C) menées

des points de coordonnées(1 ; 0) et (e ;1)

 

E) Logarithme à base b :    

Par définition :  log_b x= Inx/Inb et on étudie brièvement  ses propriétés, ses variations, ses courbes  sans oublier le logarithme décimal.

F) Dérivées et primitives logarithmiques généralisées :

 On traite avec les élèves des fonctions bien déterminées, leurs dérivées , leurs primitives et on trace leurs courbes au moyen du calcul et au moyen du geogebra.

G) Application :

1. On énonce les règles de calcul de la résolution d’une équation en ln.
2. On enseigne à l’aide de  jeux d’intelligence, d’attention ou à travers un concours entre les élèves.
3. On teste les connaissances avec des QCM signifiants.
4. On décode des figures par des lectures graphiques.
5. On trace et on dynamise des figures avec geogebra.
6. On procède en recourant à des situations vécues et des exemples bien  choisis dont voici quelques- uns :

Exemple 1

MATH

 

 

FİCHE PRATIQUE

MATHS:  SEANCE D’APPRENTISSAGE

 

 Niveau : TERMINALE SE OU SV

Durée : 120 minutes

Titre de la leçon : Logarithmes-Fonctions  logarithmiques

Objectifs : A la fin de la séance, l’élève sera capable de faire des calculs logarithmiques, tracer des courbes de fonctions logarithmiques, résoudre des situations problèmes de la vie courante et dynamiser des graphiques pour prévoir et interpréter une solution :

1. Introduire la notion du logarithme népérien  ou Ln
2. Définir une fonction logarithmique
3. Calculer une dérivée logarithmique et déduire alors des primitives  sous la  forme de  Ln|u(x)|
4. Etudier les variations d’une fonction en  Ln
5. Donner la relation entre Ln et le logarithme dans d’autre bases de calcul
6. Savoir calculer dans une équation où l’inconnue est en exposant
7. Valoriser le rôle des logarithmes, et donc des mathématiques, pour d’autres  disciplines permettant de résoudre des situations réelles en Economie, en  Chimie et en Biologie.

Pré- requis:

 Pour bien aborder la séance et surmonter les difficultés, l’apprenant doit posséder savoir et savoir-faire :

1. Les règles de dérivations d’une fonction
2. L’étude de la variation d’une fonction
3. L’étude des fonctions usuelles
4. La règle de l’Hospital
5. Les primitives simples et généralisées

Outils et supports (matériel):

Calculatrice, Lap top, LCD projector, Programme Power point, l’ indispensable tableau et le logiciel geogebra

Déroulement :

Après avoir préparé le chapitre sur un ordinateur, on lance l’explication par projection des diapositives

Si l’ enseignant ne connaît pas l’animation avec Power point, il peut demander l’aide du prof d’informatique de l école.

 

Activité 1 :

On demande aux élèves de calculer les primitives de chacune des fonctions associant à une inconnue x l’une des expressions suivantes:

On gère ainsi un débat sans donner la réponse qui va être énoncée ultérieurement et toujours pour garder l’élève en état de suspense afin d’essayer par lui-même d’inventer une solution.

Activité 2 :

On demande aux élèves de calculer, au moyen de la calculatrice, et de comparer certaines valeurs.

1. Calculer  ln2 ; ln3 ; ln 2/3 ;ln6 ; ln2 +ln3 ;ln2 –ln3 , puis comparer les résultats.
2. Calculer  ln(0,1) ;ln(0,3) ;ln(0,5) ;ln(0,9) ;ln1 ; ln2 ; ln(2,5) ;ln3 ;ln7 . Que peut-on  en déduire ?
3. Calculer ln(-0,0001) ;ln(-0,5) ;ln(-4) ;ln(-9).Que peut-on en déduire ?
4. Calculer ln(0,6) ; ln(0,8) ; ln4 ;ln5.Que remarquez-vous ?
5. Calculer ln(2)^-3 et -3ln(2) ;  ln(5)^-0,2 et -0,2ln5, puis ln(2,3)⁴ et 4ln(2,3).Que constatez-vous ?

Synthèse

- De l’activité 1 apparaît la nécessité de créer une primitive de1/x

- De l’activité 2 découle la possibilité d’avoir :

1.  ln(ab) = lna+lnb   et lna/b  = lna – lnb
2. Ln x < 0 lorsque 0 < x <1 ; ln 1 = 0 et   lnx > 0 si x > 1
3. Une impossibilité de trouver lnx,  Si x < 0
4. Ln x^α = α  lnx   où  α  est un réel quelconque
5. Une croissance de Lnx  lorsque x croît,  mais moins vite.

 

Cours :

On lance maintenant les diapositives du cours et on demande aux élèves de rédiger leurs propres réponses avant de généraliser les résultats.

 

A)Définition                                                                                                         
Une primitive de la fonction f définie par f(x) = 1/x  pour x > 0 est :                    

  (découverte par  Alkhawarizmi)

 

 

C’est aussi l’aire F(t)du domaine limité

par la courbe de la fonction usuelle définie par

f(x)= 1/x  , l’axe des abscisses et les droites

                 d’équations respectives

x =1 et x = t ( t > 1)

 

 

 

 

 

Déduction : La dérivée de lnx est  1/x  ou (lnx)^’ =1/x

                      La représention est tracée au moyen du logiciel geogebra que vous pouvez

                      installer sur votre ordinateur, sur le site : http://www.geogebra .org/cms/fr

B)Formules :

Pour tous réels positifs a et b et pour tout réel α on a :

• Ln ab = ln a+ ln b
• Ln(a/b) = ln a –ln b
• Ln a^α = α ln a
• Ln 1 = 0
• Lne = 1,  e =2,7818….( base de ln)
• Pour 0 < x < 1 , ln x < 0 et pour x > 1,  lnx > 0

 

Puisque la majorité des élèves ne fait pas attention aux démonstrations, on en montre quelques- unes et on démontre ensuite les autres aux intéressés.

C) Les limites :

         

              

  Puisque la majorité des élèves ne fait pas attention aux démonstrations, on en  montre quelques- unes et on démontre les autres aux intéressés ultérieurement.

Remarques : La règle de l’Hospital permet, pour la plupart des élèves, de  faciliter la recherche de la limite.

Au moyen du logiciel geogebra, on trace les courbe de x² ; x³ ; ….et   lnx pour  déduire le comportement à l’infini de lnx par rapport  à   la puissance de x

D)Etude de la fonction ln

1. Le domaine de ln est ]0 ;+∞[
2. Limites :        et    
3.  Dérivée : (lnx)^’ =  > 0

e. Intersections avec les axes : x=0 n’appartient pas au domaine

                                                   y = 0, x = 1

       Comportement à : on prend x=9, on détermine y pour déduire qu’il ya une direction asymptotique parallèle à x’x

f.  Courbe :

 

On cherche les équations des

tangentes à la courbe (C) menées

des points de coordonnées(1 ; 0) et (e ;1)

 

E) Logarithme à base b :    

Par définition :  log_b x= Inx/Inb et on étudie brièvement  ses propriétés, ses variations, ses courbes  sans oublier le logarithme décimal.

F) Dérivées et primitives logarithmiques généralisées :

 On traite avec les élèves des fonctions bien déterminées, leurs dérivées , leurs primitives et on trace leurs courbes au moyen du calcul et au moyen du geogebra.

G) Application :

1. On énonce les règles de calcul de la résolution d’une équation en ln.
2. On enseigne à l’aide de  jeux d’intelligence, d’attention ou à travers un concours entre les élèves.
3. On teste les connaissances avec des QCM signifiants.
4. On décode des figures par des lectures graphiques.
5. On trace et on dynamise des figures avec geogebra.
6. On procède en recourant à des situations vécues et des exemples bien  choisis dont voici quelques- uns :

Exemple 1